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Allgemeine Topologie I by René Bartsch

By René Bartsch

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Grassmannians and Gauss Maps in Piecewise-Linear and Piecewise-Differential Topology

The publication explores the potential of extending the notions of "Grassmannian" and "Gauss map" to the PL type. they're exclusive from "classifying house" and "classifying map" that are basically homotopy-theoretic notions. The analogs of Grassmannian and Gauss map outlined contain geometric and combinatorial details.

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Linearit¨at: F¨ ur x = y ist nichts zu zeigen. Bei x = y haben wir entweder s(x) = s(y) und dann liegt entweder x oder y in X \ B, oder es gilt s(x) = s(y) und dann entweder s(x) ✂ s(y) oder s(y) ✂ s(x), da ja ✂ linear ist. Ferner ist ✂ auch eine Wohlordnung: Ist ∅ = M ⊆ X gegeben, so hat jedenfalls s(M ) ein minimales Element m0 bez¨ uglich ✂ . Dieses hat als m¨ogliche Urbilder bez¨ uglich s lediglich sich selbst und eventuell ein m0 ∈ B. Ist m0 ∈ M , so ist es offensichtlich minimal bez¨ uglich ✂, andernfalls ist es m0 .

Auch U durch ≤ total geordnet. Ja, ≤ ist sogar eine Wohlordnung auf U : Sei n¨amlich ∅ = T ⊆ U gegeben, dann existiert jedenfalls ein (D, ≤D ) ∈ C mit D ∩ T = ∅. Als nichtleere Teilmenge der wohlgeordneten Menge D hat T ∩ D nun ein bez¨ uglich ≤D kleinstes Element d. Dieses ist nun wegen der totalen Ordnung auf C sowie wegen der Eigenschaften (2) und (3) aber auch kleinstes Element in T bez¨ uglich ≤. Schließlich und endlich finden wir U = X. W¨are das n¨amlich nicht so, dann existierte ein y ∈ X \ U und wir k¨ onnten einfach die Wohlordnung ≤ von U erweitern auf U := U ∪ {y}, indem wir ∀x ∈ U : x ≤ y setzen.

Solche aus Folgen gebildeten Filter nennen wir auch Elementarfilter.

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