By René Bartsch

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Jerry Marsden, one of many world’s pre-eminent mechanicians and utilized mathematicians, celebrated his sixtieth birthday in August 2002. the development used to be marked by way of a workshop on “Geometry, Mechanics, and Dynamics”at the Fields Institute for study within the Mathematical Sciences, of which he wasthefoundingDirector.

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Daher ist K := {k ∈ V | ∃M ∈ M : |M | ≤ |{v ∈ V | v ✂ k}| } nicht leer und besitzt folglich ein bez¨ uglich ✂ minimales Element k0 . Somit existiert ein M0 ∈ M mit |M0 | ≤ |{v ∈ V | v✂k0 }|. 9 einen Ordnungsisomorphismus f zwischen Schnitten in M und R := {v ∈ V | v ✂ k0 } derart, daß der Definitionsbereich von f gleich M oder der Wertebereich von f gleich R ist. In letzterem Fall ist sofort klar, daß M gleichm¨achtig zu R ist, im ersten Fall sehen wir das wie folgt ein: Sollte R \ f (M ) nicht leer sein, so sei r0 das kleinste Element von R \ f (M ).

Beweis: Zun¨ achst einmal stellen wir fest, daß jede einelementige Teilmenge von X trivialerweise total geordnet ist. † Nun mag es Teilmengen von M geben, die selbst total geordnet bez¨ uglich der Mengeninklusion sind. Wenn etwa A ⊆ M eine solche, bez¨ uglich Inklusion total geordnete, Teilmenge von M ist, dann ist auch die Vereinigung A∈A A total geordnet bez¨ uglich ≤. ‡ Diesen Sachverhalt im Hinterkopf, sind wir nun schon ganz gut gewappnet, den Hauptteil des Beweises in Angriff zu nehmen. h.

Sei also A = ∅ eine Teilmenge von On. Wegen A = ∅ existiert ein α ∈ A. Wir setzen A := α ∩ A . Falls A = ∅, haben wir ∀x ∈ A : x ∈ α ⇔ (x ⊆ α) ∨ (x = α) ⇔ α⊆x, so daß also α inklusionsminimal in A ist. h. 18 ja sofort ∀x ∈ A : a ⊆ x folgt. 18 sogleich α ⊆ x. Nat¨ urlich gilt wegen a ∈ A ⊆ α auch a ⊆ α. Das ergibt ∀x ∈ A \ A : a ⊆ x. Insgesamt ist somit a inklusionsminimal in A. 20 On ist keine Menge. 18 sogleich, daß On eine Ordinalzahl w¨ are. 3(1). 21 F¨ ur alle α ∈ On gilt On(α) := {x ∈ On| x ⊂ α, x = α} = α , so daß On(α) insbesondere eine Menge ist.

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