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Algebraic and Geometric Topology: Proceedings of a by A. H. Assadi, P. Vogel (auth.), Andrew Ranicki, Norman

By A. H. Assadi, P. Vogel (auth.), Andrew Ranicki, Norman Levitt, Frank Quinn (eds.)

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Erinnerung an die Lineare Algebra. Es sei K zunächst ein beliebiger Körper und K 2 der 2-dimensionale K-Vektorraum der Spaltenvektoren mit Komponenten aus K. Beim Rechnen mit den „Punkten“ x = xx12 des K 2 , dem transponierten Zeilenvektor xt = (x1 , x2 ) und mit 2 × 2 Matrizen über K wird konsequent die Matrizenrechnung angewendet. Wenn es aus dem Zusammenhang nicht anders hervorgeht, bedeuten a, b, . . , x, y, z usw. stets beliebige Elemente des K 2 . Dabei wird vereinbart, dass die Komponenten jeweils mit dem entsprechend indizierten Buchstaben bezeichnet werden, dass also (1) a= a1 a2 , b= b1 b2 , ...

Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ, also ein Körper. M. Wedderburn (1882– 1948) im Jahre 1905 bewiesen (A theorem on finite algebras, Trans. Am. Math. Soc. 6, 349–352). Einen modernen Beweis findet man bei E. 14. Kombiniert man diesen Satz mit dem Äquivalenzsatz 3, so erhält man den folgenden rein geometrischen Satz. In jeder endlichen Desargues-Ebene gilt der Satz von Pappus. 42 I. 2 endlich. Ein rein geometrischer Beweis dieses Satzes stammt von H. Tecklenburg (J. Geom. 30, 172–181 (1987)).

Man geht also eigentlich von einer „affinen Ebene mit Basispunkt“ aus und konstruiert dazu eine Gruppe. b) Die Änderung der Gruppenstruktur, die bei Änderung des Basispunktes eintritt, lässt sich leicht übersehen: Ist O′ ein weiterer Basispunkt und ist τa′ die Translation mit a = τa′ (O′ ), dann ist die neue Addition durch a + b := τa′ ◦ τb′ (O′ ) definiert. Man wählt τ ∈ TransIA mit O = τ (O′ ) und hat a = τa (O) = τa ◦ τ (O′ ), also τa′ = τa ◦ τ . Mit p := τ (O ) folgt dann a + b = τa′ ◦ τb′ (O′ ) = τa ◦ τ ◦ τb ◦ τ (O′ ) = τa ◦ τ ◦ τb (O) = τa ◦ τb (p) = a + b + p .

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