By A. H. Assadi, P. Vogel (auth.), Andrew Ranicki, Norman Levitt, Frank Quinn (eds.)

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Geometry, mechanics, and dynamics: volume in honor of the 60th birthday of J.E. Marsden

Jerry Marsden, one of many world’s pre-eminent mechanicians and utilized mathematicians, celebrated his sixtieth birthday in August 2002. the development used to be marked by means of a workshop on “Geometry, Mechanics, and Dynamics”at the Fields Institute for study within the Mathematical Sciences, of which he wasthefoundingDirector.

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G F H a′ c′ b′ a c x1 b Abb. 8: Der Kleine Satz von Desargues gilt nicht in der Moulton-Ebene Beispiel. Man betrachte die einfachste affine Ebene mit 4 Punkten und 3 Richtungen. Von den 24 Permutationen der Punkte a, b, c, d haben nur die folgenden 9 keinen Fixpunkt: c τ α β γ a b b b c c c d d d b a c d a d d a c c c d d a d b a b a b d c a c b a b c b a c p ∨ q τ (p) ∨ τ (q) a ∨ b/ b ∨ c a ∨ b/ b ∨ d a ∨ b/ c ∨ a a ∨ d/ c ∨ a a ∨ d/ d ∨ c a ∨ d/ d ∨ b d d a b a b c d c d a b a b Abb. 9: Affine Ebene mit 3 Richtungen Die Gruppe der Translationen besteht aus den Permutationen id, α, β, γ mit den Relationen α2 = β 2 = γ 2 = id und α ◦ β = γ = β ◦ α.

Sei τ = τaa′ die Translation mit τ (a) = a′ . Wegen F = a ∨ a′ = a ∨ τ (a) ist F nach Korollar 2C eine Fixgerade von τ . Nach Proposition 3 sind dann auch G und H Fixgeraden von τ , so dass τ (b) ∈ G und τ (c) ∈ H folgt. 1(2) impliziert nun a∨b τ (a) ∨τ (b), also a∨b b ∨ c b′ ∨ c′ . a′ ∨ τ (b) . a′ a b b′ F G c′ H c Abb. 7: Kleiner Satz von Desargues Aus F G folgt G/ a ∨ b. Damit gilt τ (b) = G ∧ a′ (a ∨ b) = b′ . Analog folgt τ (c) = c′ . Nach 1(2) ist b′ ∨ c′ = τ (b) ∨ τ (c) parallel zu b ∨ c.

3. Metrische Translationsebenen. 1) (lP, G| ) ist eine Translationsebene. Mit der Wahl eines festen Punktes O wird lP zu einer additiven Gruppe. 6. 2) (lP; · ) ist eine vollständige normierte Gruppe mit ParallelogrammGesetz. 3) Die Geraden G ∈ G| sind abgeschlossene Teilmengen von lP. Fordert man zusätzlich die Gültigkeit des Satzes von Desargues bzw. Pappus, so spricht man natürlich von einer metrischen Desargues-Ebene bzw. von einer metrischen Pappus-Ebene. Sind IA = (lP, G| ; · ) und IA′ = (lP′ , G| ′ ; · ′) zwei metrische Translationsebenen, so heißt ein affiner Isomorphismus ϕ : IA → IA′ , der x = ϕ(x) ′ für alle x ∈ lP erfüllt, ein metrischer affiner Isomorphismus.

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