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Ein Ansatz, der ohne die Methode der Exhaustion auskommt, wurde von Hippokrates von Chios (Mitte oder zweite Hälfte des 5. Jh. v. ) entwickelt und hat bis in die Schulbuchliteratur unserer Tage hinein gewirkt. Er beruht auf den „Möndchensätzen“. Hippokrates hat sich offenbar auch an der Quadratur des Kreises beteiligt, sich dann aber dem etwas weniger ambitionierten Ziel zugewandt, die Fläche von Figuren zu berechnen, die durch Kreisteile begrenzt werden. Zeichnet man in einen Halbkreis ein gleichschenkliges Dreieck ein wie in Abb.

Sind a und b inkommensurabel, dann endet der Algorithmus nicht! Im ersten Schritt der Wechselwegnahme nehmen wir b von a weg. Bemerken wir die Parallelität von Pentagonkante und Seite des Pentagramms wie in Abb. 6(a) angedeutet, dann bleibt bei Wegnahme der Größe b von a der Rest a1 . Diesen Rest nehmen wir nun von b weg und erhalten b1 wie in Abb. 6(b) gezeigt. b b1 a1 a b b1 b a1 a1 b1 (a) Erster Schritt der Wechselwegnahme Abb. 6 (b) Vorbereitung zum zweiten Schritt Wechselwegnahme zum Beweis der Inkommensurabilität von Seite b und Diagonale a eines Fünfecks 26 2 Das Kontinuum in der griechisch-hellenistischen Antike Durch Parallelverschiebung ins Innere des Pentagramms erkennt man, dass a1 nun Seitenlänge eines kleineren Pentagramms ist, während b1 die Kantenlänge des umschriebenen Pentagons darstellt.

Nun bleiben uns noch die zwei Möglichkeiten a < b und a = b. Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten müssen wir nur noch a < b widerlegen (was analog zu dem oben ausgeführten Beweis funktioniert) und damit ist a = b gezeigt. Insgesamt handelt es sich um einen für die griechische Antike typischen Beweis, die doppelte reductio ad absurdum. Wir werden auf diese Technik gleich noch genauer zurückkommen. 32 2 Das Kontinuum in der griechisch-hellenistischen Antike Abb. 4 Die Methode der Exhaustion – Integration auf griechisch Mit dem Archimedischen Axiom brachte Eudoxos auch eine Methode zur Flächenberechnung in die Welt, die Exhaustionsmethode (Ausschöpfungsmethode).

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